3. Составить математическую модель, по возможности решить: а) Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 15 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 25 часов после отплытия из него. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс? б) От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 80 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого вслед за ним со скоростью на 2 км/ч большей отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч. в) Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 156 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 143 литра? г) При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

1. а) Пусть расстояние в одну сторону равно d км. Скорости теплохода по течению и против течения: 15 + 3 = 18 км/ч и 15 − 3 = 12 км/ч. На движение затрачено 25 − 5 = 20 ч, поэтому модель: d/18 + d/12 = 20. Отсюда 5d/36 = 20, d = 144 км. Весь путь: 2d = 288 км.
2. б) Пусть скорость первого теплохода равна v км/ч; тогда скорость второго — v + 2. Их времена в пути отличаются на 2 ч: 80/v = 2 + 80/(v + 2). После преобразования получаем v² + 2v − 80 = 0. Положительный корень — v = 8, поэтому скорость второго равна 8 + 2 = 10 км/ч.
3. в) Пусть первая труба пропускает r л/мин, вторая — r + 1 л/мин. По условию: 156/r = 143/(r + 1) + 2. После умножения на r(r + 1): 2r² − 11r − 156 = 0. Корни: r = 12 и r = −6. Отрицательная скорость не подходит, значит первая труба пропускает 12 л/мин.
4. г) Пусть взяли x частей первого раствора и y частей второго. Баланс кислоты: 0,2x + 0,5y = 0,3(x + y). Отсюда 0,2y = 0,1x, следовательно, x:y = 2:1.

Ответ: а) 288 км; б) 10 км/ч; в) 12 л/мин; г) 2:1.