3. Сторона АВ треугольника АВС продолжена за точку В. На продолжении отмечена точка D так, что ВС=BD. Найдите величину угла, BCD если угол АСВ равен 75°, а угол ВАС равен 35°.

Решение:

В треугольнике ABC:

\( \angle BAC = 35° \), \( \angle ACB = 75° \).

Сумма углов треугольника равна 180°:

\( \angle ABC = 180° - (\angle BAC + \angle ACB) = 180° - (35° + 75°) = 180° - 110° = 70° \).

По условию, точка D лежит на продолжении стороны AB за точку B, и \( BC = BD \).

Это означает, что треугольник BCD равнобедренный с основанием CD.

Угол \( \angle ABC = 70° \).

Угол \( \angle CBD \) является внешним углом к \( \angle ABC \) при вершине B, но так как D лежит на продолжении AB за B, то \( \angle CBD \) — это развернутый угол \( 180° \) минус \( \angle ABC \) (если бы D было на продолжении BA за A). Здесь D на продолжении AB за B, значит \( \angle CBD = 180° - \angle ABC \) неверно. \( \angle CBD \) это смежный угол с \( \angle ABC \), если C, B, D образуют прямую, что не так. Угол \( \angle CBD \) является смежным к \( \angle ABC \) на прямой AD. Значит \( \angle CBD = 180° - \angle ABC = 180° - 70° = 110° \).

Так как \( \triangle BCD \) равнобедренный и \( BC = BD \), то углы при основании CD равны:

\( \angle BCD = \angle BDC = \frac{180° - \angle CBD}{2} = \frac{180° - 110°}{2} = \frac{70°}{2} = 35° \).

Ответ: 35°.