3. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение:

Правильная шестиугольная пирамида имеет 6 одинаковых боковых граней — треугольников.

1. Найдём апофему (высоту боковой грани):

Основание боковой грани — сторона основания пирамиды, равная 10. Боковое ребро равно 13. Апофема является высотой равнобедренного треугольника боковой грани. Она делит основание пополам (на отрезки по 5).

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром:

\( \text{апофема}^2 + 5^2 = 13^2 \)

\( \text{апофема}^2 + 25 = 169 \)

\( \text{апофема}^2 = 169 - 25 = 144 \)

\( \text{апофема} = \sqrt{144} = 12 \)

2. Найдём площадь одной боковой грани:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту (апофему).

\( S_{грани} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{апофема} = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60 \)

3. Найдём площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности — это сумма площадей всех боковых граней.

\( S_{бок.пов.} = 6 \times S_{грани} = 6 \times 60 = 360 \)

Ответ: 360