3. Сумма двух чисел равна -10, а сумма их квадратов равна 68. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть первое число будет $$x$$, а второе — $$y$$. У нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} x + y = -10 \\ x^2 + y^2 = 68 \end{cases} \]

Из первого уравнения выразим $$y$$:

\[ y = -10 - x \]

Подставим во второе уравнение:

\[ x^2 + (-10 - x)^2 = 68 \]

\[ x^2 + (100 + 20x + x^2) = 68 \]

\[ 2x^2 + 20x + 100 - 68 = 0 \]

\[ 2x^2 + 20x + 32 = 0 \]

Разделим на 2:

\[ x^2 + 10x + 16 = 0 \]

Найдем дискриминант $$D = b^2 - 4ac$$:

\[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-10 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

\[ x_2 = \frac{-10 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Теперь найдем соответствующие значения $$y$$:

Если $$x = -2$$, то $$y = -10 - (-2) = -10 + 2 = -8$$.

Если $$x = -8$$, то $$y = -10 - (-8) = -10 + 8 = -2$$.

Ответ: Числа -2 и -8.