3. Тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью, модуль которой v₀ = 18 м/с. На какой высоте кинетическая энергия тела будет равна его потенциальной энергии?

Привет! Давай решим задачу на закон сохранения энергии.

Дано:

• Начальная скорость, $$v_0 = 18$$ м/с
• Ускорение свободного падения, $$g \textit{ (примем примерно 10 м/с² для простоты расчета, но точное значение лучше уточнить или использовать в общем виде)}$$

Найти:

• Высота, $$h$$, на которой $$E_k = E_p$$

Решение:

По условию, в некоторой точке движения кинетическая энергия ($$E_k$$) равна потенциальной энергии ($$E_p$$):

$$E_k = E_p$$

Мы знаем, что:

• Кинетическая энергия: $$E_k = \frac{mv^2}{2}$$
• Потенциальная энергия: $$E_p = mgh$$

Изначально, у поверхности Земли (при $$h=0$$), вся энергия — кинетическая:

$$E_{начальная} = E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2}$$

По закону сохранения энергии, полная энергия остается постоянной. В точке, где $$E_k = E_p$$, полная энергия равна:

$$E_{полная} = E_k + E_p = E_p + E_p = 2E_p = 2mgh$$

Или:

$$E_{полная} = E_k + E_p = E_k + E_k = 2E_k = 2 \times \frac{mv^2}{2} = mv^2$$

Приравниваем начальную энергию к энергии в точке, где $$E_k = E_p$$:

$$E_{k0} = 2mgh$$

\(\frac{mv_0^2}{2}\) = 2mgh$$

Массу $$m$$ можно сократить:

\frac{v_0^2}{2} = 2gh$$

Теперь выразим высоту $$h$$:

$$h = \frac{v_0^2}{4g}$$

Подставим значение начальной скорости $$v_0 = 18$$ м/с и $$g \boldsymbol{\boldsymbol{=}} 10$$ м/с² (для примера):

$$h = \frac{(18 \text{ м/с})^2}{4 \times 10 \text{ м/с}^2} = \frac{324 \text{ м}^2/\text{с}^2}{40 \text{ м/с}^2} = 8,1 \text{ м}$$

Если использовать $$g \boldsymbol{=} 9,8$$ м/с²:

$$h = \frac{324}{4 \times 9,8} = \frac{324}{39,2} \boldsymbol{\boldsymbol{\boldsymbol{\tilde{ group}}}}} 8,27$$ м

Ответ: 8,1 м (при g=10 м/с²) или примерно 8,27 м (при g=9,8 м/с²).