3. Тип 15 № 352277. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 96 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M — середина AC, поэтому \(AM=MC=96:2=48\).

Из рисунка точки расположены в порядке A, M, H, C. Обозначим \(AH=x\), а \(BH=h\). Тогда \(HC=96-x\), \(MH=x-48\).

Из прямоугольных треугольников \(BHC\) и \(BHM\), с учётом \(BC=BM\), получаем:

\(h^2+(96-x)^2=h^2+(x-48)^2\).

Сократим \(h^2\) и решим равенство квадратов:

\((96-x)^2=(x-48)^2\), значит \(96-x=x-48\) или \(96-x=-(x-48)\). Второе равенство невозможно, так как оно приводит к \(96=48\). Из первого получаем \(2x=144\), то есть \(x=72\).

Ответ: 72.