3. Тип 16 № 352139 Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О. Найдите градусную меру угла С треугольника АВС, если угол АОВ равен 161°.

Привет! Давай разберемся с углами в окружности.

Дано:

• Треугольник ABC вписан в окружность с центром O.
• \[ \angle AOB = 161^{\circ} \]

Найти:\[ \angle ACB \]

Решение:

1. Связь центрального и вписанного углов. Угол, который опирается на ту же дугу, что и центральный угол, равен половине центрального угла.
2. \[ \angle AOB \] — это центральный угол, опирающийся на дугу AB.
3. \[ \angle ACB \] — это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AB.
4. Следовательно, oldmath \(\text{∠ACB = (1/2) * ∠AOB}\).
5. oldmath \(\text{∠ACB = (1/2) * 161°}\).
6. oldmath \(\text{∠ACB = 80.5°}\).

Важно! Угол oldmath \(\text{∠AOB = 161°}\) является тупым. Вписанный угол oldmath \(\text{∠ACB}\) опирается на эту же дугу. Но мы должны убедиться, что точка C находится на той дуге, которая не содержит точки O.

Если бы точка C была на той дуге, которую образует угол 161°, то угол ACB был бы равен 80.5°.

Однако, если угол AOB больше 180°, то мы берем другую дугу. В данном случае 161° < 180°.

Другой вариант: центральный угол, который опирается на большую дугу AB, равен oldmath \(\text{360° - 161° = 199°}\).

Если бы вписанный угол опирался на эту большую дугу, он бы был равен oldmath \(\text{199° / 2 = 99.5°}\).

Обычно, если не указано иное, угол треугольника берется как острый или тупой, но не как развернутый. Треугольник ABC вписан в окружность, значит, все его углы меньше 180°.

Если oldmath \(\text{∠AOB = 161°}\), то это центральный угол, опирающийся на дугу AB. Вписанный угол oldmath \(\text{∠ACB}\) опирается на ту же дугу.

По теореме о вписанном угле: Величина вписанного угла, опирающегося на дугу, равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Therefore, oldmath \(\text{∠ACB = ∠AOB / 2}\).

oldmath \(\text{∠ACB = 161° / 2}\).

oldmath \(\text{∠ACB = 80.5°}\).

Ответ: 80.5