3. Тип 23 № 324778. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.

Точка пересечения диагоналей — центр ромба, а её расстояние до стороны равно радиусу вписанной окружности. Обозначим половины диагоналей через \(p\) и \(q\); одну из них можно принять равной \(p=38\). Сторона ромба равна \(\sqrt{p^2+q^2}\), а радиус вписанной окружности — \(\frac{pq}{\sqrt{p^2+q^2}}\).

Из условия: \(19=\frac{38q}{\sqrt{38^2+q^2}}\). Тогда \(\sqrt{1444+q^2}=2q\), откуда \(q^2=481\).

Для угла ромба \(\theta\), прилежащего к вершине на диагонали длины 76, \(\cos\theta=\frac{38^2- q^2}{38^2+q^2}=\frac{963}{1925}\). Поэтому углы ромба равны \(\arccos\frac{963}{1925}\) и \(180^circ-\arccos\frac{963}{1925}\), то есть приблизительно \(60.0^\circ\) и \(120.0^\circ\).

Ответ: приблизительно \(60^\circ\) и \(120^\circ\).