3. Точка M — середина стороны BC прямоугольника ABCD, AM ⟂ MD, периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть \(AB = CD = a\), а \(BC = AD = b\).

Так как M — середина стороны BC, то:

\(BM = MC = \frac{b}{2}\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами \(AB = a\) и \(BM = \frac{b}{2}\). Условие \(AM \perp MD\) означает, что:

\(a^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2\).

Следовательно, \(b = 2a\).

По условию периметр равен 36 см:

\(2(a+b)=36\).

Подставим \(b=2a\):

\(2(a+2a)=36\),

\(6a=36\),

\(a=6\) см.

Тогда:

\(b=2a=12\) см.

Ответ: \(AB = CD = 6\) см, \(BC = AD = 12\) см.