3. Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равносторонние. Доказать: АВ || CD.

Решение:

1. Так как \( \triangle ABC \) — равносторонний, то \( \angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60° \) и \( AB = BC = AC \).
2. Так как \( \triangle ADC \) — равносторонний, то \( \angle DAC = \angle ADC = \angle DCA = 60° \) и \( AD = DC = AC \).
3. Из равенства сторон равносторонних треугольников следует, что \( AB = AC \) и \( AC = CD \), следовательно, \( AB = CD \).
4. Рассмотрим углы \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \).
5. \( \angle BAC = 60° \) (угол равностороннего \( \triangle ABC \)).
6. \( \angle DCA = 60° \) (угол равностороннего \( \triangle ADC \)).
7. \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 60° + 60° = 120° \).
8. \( \angle BAC = 60° \) и \( \angle ACD = 60° \).
9. \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \) являются накрест лежащими углами при пересечении прямых \( AB \) и \( CD \) секущей \( AC \).
10. Поскольку \( \angle BAC = \angle ACD = 60° \), то прямые \( AB \) и \( CD \) параллельны.

Доказано.