4*. Дано: \( \angle EPM = 90° \), \( \angle MEP = 30° \), \( ME = 10 \) см (рис. 5.90). a) Между какими целыми числами заключена длина отрезка EP? б) Найдите длину медианы PD.

Решение:

а) Находим длину отрезка EP:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle EPM \).
2. \( \angle EPM = 90° \), \( \angle MEP = 30° \).
3. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы.
4. \( EP \) — катет, противолежащий углу \( \angle EMP \).
5. \( \angle EMP = 180° - 90° - 30° = 60° \).
6. Катет, противолежащий углу в 30° (угол \( \angle MEP \)), равен \( PM \).
7. \( PM = \frac{ME}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.
8. \( EP \) — катет, противолежащий углу \( \angle EMP = 60° \).
9. Используем теорему Пифагора: \( EP^2 + PM^2 = ME^2 \).
10. \( EP^2 + 5^2 = 10^2 \).
11. \( EP^2 + 25 = 100 \).
12. \( EP^2 = 100 - 25 = 75 \).
13. \( EP = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \) см.
14. Приближенное значение \( \sqrt{3} \approx 1.732 \).
15. \( EP \approx 5 \cdot 1.732 = 8.66 \) см.
16. Числа, между которыми заключена длина отрезка \( EP \), — 8 и 9.

б) Находим длину медианы PD:

1. \( PD \) — медиана в \( \triangle EPM \). Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
2. \( D \) — середина стороны \( EM \).
3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
4. \( PD = \frac{EM}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.

Ответ: а) Длина отрезка EP заключена между целыми числами 8 и 9. б) Длина медианы PD равна 5 см.