3. Точки \(K\) лежит на стороне \(AB\), а точка \(M\) — на стороне \(CD\) параллелограмма \(ABCD\), причём \(AK=KB\), \(CM:MD=2:5\). Вычислите вектор \(\overrightarrow{MK}\) через векторы \(\vec p=\overrightarrow{AB}\); \(\vec q=\overrightarrow{AD}\).

Пусть точка \(A\) — начало отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec p\), \(\overrightarrow{AD}=\vec q\), а \(\overrightarrow{AC}=\vec p+\vec q\).

Так как \(AK=KB\), точка \(K\) — середина \(AB\), поэтому \(\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\vec p\).

На стороне \(CD\) отношение \(CM:MD=2:5\), значит \(\overrightarrow{CM}=\frac{2}{7}\overrightarrow{CD}\). В параллелограмме \(\overrightarrow{CD}=-\vec p\), поэтому \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\vec p+\vec q-\frac{2}{7}\vec p=\frac{5}{7}\vec p+\vec q\).

Следовательно, \(\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\vec p-(\frac{5}{7}\vec p+\vec q)=-\frac{3}{14}\vec p-\vec q\).

Ответ: \(\overrightarrow{MK}=-\frac{3}{14}\vec p-\vec q\).