3. Точки P и E лежат соответственно на сторонах BC и DC параллелограмма ABCD так, что BD = PC и DE:EC = 1:2. Выразите через векторы m = AB и n = AD векторы AP, AE, DP, BE, PE.

Положим \(A\) началом отсчёта. Тогда \(B=\mathbf m\), \(D=\mathbf n\), \(C=\mathbf m+\mathbf n\).

Из условия \(DE:EC=1:2\) следует, что \(\overrightarrow{DE}=\frac13\mathbf m\). Поэтому \(\overrightarrow{AE}=\mathbf n+\frac13\mathbf m\).

Обозначим \(t=\frac{|BD|}{|BC|}=\frac{|\mathbf n-\mathbf m|}{|\mathbf n|}\). Так как \(P\) лежит на \(BC\), а длина \(PC\) равна длине \(BD\), получаем \(\overrightarrow{PC}=-t\mathbf n\). Следовательно, \(\overrightarrow{AP}=\mathbf m+(1-t)\mathbf n\).

Тогда:

\(\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AD}=\mathbf m-t\mathbf n;\)

\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\mathbf n-\frac23\mathbf m;\)

\(\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AP}=t\mathbf n-\frac23\mathbf m.\)

Здесь модуль в выражении для \(t\) необходим: условие \(BD=PC\) задаёт равенство длин отрезков.

Ответ: \(\overrightarrow{AP}=\mathbf m+(1-t)\mathbf n\), \(\overrightarrow{AE}=\mathbf n+\frac13\mathbf m\), \(\overrightarrow{DP}=\mathbf m-t\mathbf n\), \(\overrightarrow{BE}=\mathbf n-\frac23\mathbf m\), \(\overrightarrow{PE}=t\mathbf n-\frac23\mathbf m\), где \(t=\frac{|\mathbf n-\mathbf m|}{|\mathbf n|}\).