3. Трапеция, удвоение медианы и центральная симметрия. а) ABCD — равнобедренная трапеция, AB ∥ CD. Угол A равен 55°. Найдите углы B, C и D. б) В треугольнике PQR отрезок PM — медиана. На продолжении PM отмечена точка S так, что MS = MP. Докажите, что PRSQ — параллелограмм. в) Точка X′ — образ точки X при центральной симметрии с центром O. Если OX = 5 см, найдите OX′.

а) В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому ∠B = ∠A = 55°. Так как AB ∥ CD, односторонние углы при каждой боковой стороне в сумме дают 180°: ∠A + ∠D = 180° и ∠B + ∠C = 180°.

∠D = 180° − 55° = 125°; ∠C = 180° − 55° = 125°.

Ответ: ∠B = 55°, ∠C = 125°, ∠D = 125°.

б) Поскольку PM — медиана треугольника PQR, точка M — середина QR, то QM = MR. Точки P, M и S лежат на одной прямой, а MS = MP, поэтому M — середина PS. Следовательно, диагонали четырёхугольника PRSQ — PS и RQ — точкой пересечения M делятся пополам.

Ответ: PRSQ — параллелограмм по признаку четырёхугольника, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам.

в) При центральной симметрии центр O является серединой отрезка XX′. Поэтому OX = OX′.

OX′ = 5 см.

Ответ: 5 см.