3. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. На сторонах AB и BC отмечены точки P и K так, что BP = BK. O — точка пересечения AK и CP. Докажите, что \(\triangle AOC \) равнобедренный.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \). Точки \( P \) на \( AB \) и \( K \) на \( BC \) такие, что \( BP = BK \). \( O \) — точка пересечения \( AK \) и \( CP \).

Доказать: \( \triangle AOC \) — равнобедренный.

1. Рассмотрим \( \triangle ABC \): \( AB = BC \) (так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \)). \( \angle BAC = \angle BCA \) (углы при основании).
2. Рассмотрим \( \triangle BPK \): \( BP = BK \) (по условию), значит \( \triangle BPK \) — равнобедренный. Следовательно, \( \angle BPK = \angle BKP \).
3. Рассмотрим \( \triangle ABK \) и \( \triangle CBP \):
• \( AB = CB \) (из п. 1).
• \( \angle B \) — общий для обоих треугольников.
• \( BK = BP \) (по условию).
• Значит, \( \triangle ABK = \triangle CBP \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
• Из равенства треугольников следует, что \( AK = CP \) и \( \angle BAK = \angle BCP \).
4. Рассмотрим \( \triangle AOC \): Нам нужно доказать, что \( AO = CO \) или \( \angle CAO = \angle ACO \).
5. Рассмотрим \( \triangle OAC \):
• \( \angle OAC = \angle BAC - \angle BAK \)
• \( \angle OCA = \angle BCA - \angle BCP \)
• Так как \( \angle BAC = \angle BCA \) (из п. 1) и \( \angle BAK = \angle BCP \) (из п. 3), то \( \angle OAC = \angle OCA \).
• Следовательно, \( \triangle AOC \) — равнобедренный (по равенству углов при основании).

Доказано.