№ 3. Треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС. Найдите скалярное произведение векторов ВА и ВС, если ВС = 4, ∠A = 67,5°.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC углы при основании равны: \( \angle A = \angle C = 67,5° \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \( \angle B = 180° - (\angle A + \angle C) = 180° - (67,5° + 67,5°) = 180° - 135° = 45° \).

Скалярное произведение векторов \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \) вычисляется по формуле:

\( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\angle ABC) \)

В равнобедренном треугольнике \( |\vec{BA}| = |\vec{BC}| \). Так как \( BC = 4 \), то \( |\vec{BC}| = 4 \) и \( |\vec{BA}| = 4 \).

\( \angle ABC = \angle B = 45° \).

Подставим значения:

\( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 4 \cdot \cos(45°) \)

\( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 8\sqrt{2} \)

Ответ: $$8\sqrt{2}$$.