№ 4. МК — диаметр окружности. Найдите длину хорды MC, если ∠M = 30°, а длина окружности равна 24π.

Решение:

Длина окружности равна \( C = 2\pi R \), где R — радиус окружности. Из условия \( C = 24\pi \), следовательно:

\( 2\pi R = 24\pi \)

\( R = \frac{24\pi}{2\pi} = 12 \)

Диаметр окружности \( D = 2R = 2 \cdot 12 = 24 \). В данном случае \( MK = 24 \).

Угол \( \angle M = 30° \) является вписанным углом, опирающимся на дугу AC. Следовательно, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен \( 2 \cdot \angle M = 2 \cdot 30° = 60° \).

Рассмотрим треугольник MKC. Так как MK — диаметр, то угол \( \angle K \) (угол, опирающийся на диаметр) равен 90°. Треугольник MKC — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике MKC:

\( MC = MK \cdot \cos(\angle M) \)

\( MC = 24 \cdot \cos(30°) \)

\( MC = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( MC = 12\sqrt{3} \)

Ответ: $$12\sqrt{3}$$.