3. Треугольник $CDE$ задан координатами своих вершин: $C(2;2)$, $D(6;5)$, $E(5;-2)$. а) Докажите, что $\triangle CDE$ — равнобедренный; б) найдите биссектрису, проведённую из вершины $C$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Треугольник $CDE$ задан координатами своих вершин: $C(2;2)$, $D(6;5)$, $E(5;-2)$. а) Докажите, что \(\triangle…$ Фото задания

3. Треугольник $CDE$ задан координатами своих вершин: $C(2;2)$, $D(6;5)$, $E(5;-2)$. а) Докажите, что $\triangle CDE$ — равнобедренный; б) найдите биссектрису, проведённую из вершины $C$.

Accepted Answer

а) Найдём длины двух сторон, выходящих из вершины $C$:

$CD=\sqrt{(6-2)^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=5$.

$CE=\sqrt{(5-2)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{9+16}=5$.

Так как $CD=CE$, треугольник равнобедренный с основанием $DE$.

б) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины при равных сторонах, проходит через середину основания. Найдём середину $DE$:

$M\left(\frac{6+5}{2};\frac{5+(-2)}{2}\right)=\left(\frac{11}{2};\frac{3}{2}\right)$.

Следовательно, искомая биссектриса — отрезок $CM$. Его направляющий вектор: $\overrightarrow{CM}=\left(\frac72;-\frac12\right)$, поэтому прямая биссектрисы имеет уравнение $y-2=-\frac17(x-2)$, или $x+7y-16=0$.

Точки на схеме расположены условно; координаты и равенство сторон определены вычислениями.

Ответ: