3. Треугольник МРК — равнобедренный с основанием РК, О — центр описанной около него окружности. Найдите ∠ОРК, если ∠MPK = 70°.

Пошаговое решение:

1. Треугольник МРК равнобедренный с основанием РК, значит, ∠MPK = ∠MKP = 70°.
2. Сумма углов в треугольнике МРК равна 180°, следовательно, ∠РМК = 180° - (∠MPK + ∠MKP) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°.
3. О — центр описанной окружности. Следовательно, О равноудален от вершин М, Р и К.
4. Это означает, что ОМ = ОР = ОК (радиусы описанной окружности).
5. Рассмотрим треугольник ОРК. Так как ОР = ОК, он является равнобедренным.
6. Угол ∠РОК является центральным углом, опирающимся на дугу РК. Угол ∠РМК является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу.
7. Связь между центральным и вписанным углом: ∠РОК = 2 * ∠РМК.
8. ∠РОК = 2 * 40° = 80°.
9. В равнобедренном треугольнике ОРК, углы при основании РК равны: ∠ОРК = ∠ОКР.
10. Сумма углов в треугольнике ОРК равна 180°.
11. ∠ОРК = (180° - ∠РОК) / 2 = (180° - 80°) / 2 = 100° / 2 = 50°.

Ответ: ∠ОРК = 50°.