3. Три стороны трапеции равны между собой, а её диагональ равна одному из оснований. Найдите углы трапеции.

Пусть основания трапеции равны a и b, а боковые стороны тоже равны a. Условие о диагонали означает, что её длина равна одному из оснований.

Расположим трапецию с основаниями длины b и a, где b — меньшее основание. Обозначим горизонтальные проекции боковых сторон на большее основание через x и y. Тогда x + y = a − b. Для каждой боковой стороны по теореме Пифагора: x² + h² = a² и y² + h² = a², следовательно, x = y = (a − b)/2.

Диагональ, соединяющая вершины, лежащие у противоположных концов оснований, имеет горизонтальную проекцию (a + b)/2. Её длина по условию равна одному из оснований. Если она равна меньшему основанию b, то из равенства квадратов длин получается a = 3b; тогда (a − b)/2 = b, а диагональ равна b. Угол при большем основании удовлетворяет cos α = ((a − b)/2)/a = 1/3. Если диагональ равна большему основанию, аналогично получаем b = 3a, что противоречит выбору b как меньшего основания. Значит, возможен только первый случай.

Соседние углы трапеции в сумме дают 180°, а углы при каждом основании равны между собой. Поэтому углы равны α, α, 180° − α, 180° − α, где α = arccos(1/3) ≈ 70,5°.

Ответ: примерно 70,5°, 70,5°, 109,5°, 109,5°.