Вариант 3. 1. Один из углов параллелограмма на 50 меньше другого. Найдите все углы параллелограмма. 2. Докажите, что если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб. 3. Диагональ делит равнобедренную трапецию на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции.

1. Соседние углы параллелограмма в сумме равны 180°. Пусть меньший угол равен x°, тогда больший — x + 50°.

x + (x + 50) = 180, откуда 2x = 130 и x = 65. Больший угол равен 115°. Противоположные углы равны.

Ответ: 65°, 115°, 65°, 115°.

2. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = OC и BO = OD. По условию диагонали перпендикулярны, значит треугольники AOB и COB прямоугольные; у них равны катеты AO = OC и общий катет BO. Следовательно, AB = BC. Параллелограмм с равными соседними сторонами является ромбом. Что и требовалось доказать.

3. Пусть диагональ AC равнобедренной трапеции ABCD делит её на равнобедренные треугольники ABC и ACD. В трапеции AB ∥ CD, поэтому углы BAC и ACD равны как накрест лежащие.

Если треугольник ABC равнобедренный с равными сторонами AB = BC, то его углы при основании AC равны. Обозначив их через θ, получаем, что угол трапеции при основании равен 2θ, а соседний угол — 180° − 2θ. Условие, что второй треугольник тоже равнобедренный, допускает разные варианты равенства его сторон; в частности, равенство AC = CD даёт θ = 60°, а равенство AD = AC — иной угол. Само условие не указывает, какие именно стороны равны в каждом из двух треугольников, поэтому однозначно определить углы нельзя.

Например, возможен случай θ = 60°: углы трапеции тогда равны 120° и 60°. Другие допустимые равенства сторон дают другие углы. Для единственного ответа нужно уточнить, какая пара сторон равна в каждом треугольнике.