Вариант 4. 1. Периметр параллелограмма равен 36 см, а одна из его сторон больше другой стороны в 2 раза. Найдите стороны параллелограмма. 2. В прямоугольной трапеции ABCM (∠AMC = 90°, AB ⟂ AM) диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CM, ∠M = 30°. Найдите меньшее основание трапеции, если большее основание равно 24 см. 3. Из вершины тупого угла ромба проведён перпендикуляр к его стороне, делящий эту сторону пополам. Найдите углы ромба.

1. Пусть меньшая сторона равна x см, тогда большая — 2x см. Периметр параллелограмма:

2(x + 2x) = 36, откуда 6x = 36 и x = 6.

Ответ: 6 см и 12 см.

2. В условии есть противоречие в обозначениях: указано ∠AMC = 90°, но одновременно ∠M = 30°; если ∠M означает угол AMC, оба утверждения несовместимы. Кроме того, запись AB ⟂ AM не соответствует обычному обозначению прямоугольной трапеции ABCM с основаниями AB и CM: эти стороны названы боковыми.

Поэтому однозначно вычислить меньшее основание по имеющемуся условию нельзя. Нужно уточнить обозначение угла 30°, какие стороны являются основаниями и какое именно условие о перпендикулярности задано.

3. Пусть в ромбе ABCD тупой угол находится при вершине A, а перпендикуляр из A опущен на сторону CD и делит её пополам. Тогда основание перпендикуляра — середина CD. Точка A лежит на серединном перпендикуляре к CD, поэтому AC = AD. Так как в ромбе AD = CD, получаем AC = CD = AD; треугольник ACD равносторонний, и угол D равен 60°. Это противоречит тому, что A — тупой угол, но само по себе не определяет требуемое расположение перпендикуляра относительно вершин.

Формулировка не называет сторону, к которой проведён перпендикуляр, и допускает разные трактовки. Если имеется в виду перпендикуляр из вершины тупого угла к противоположной стороне ромба, то условие для невырожденного ромба невозможно: такой перпендикуляр, попадая в середину противоположной стороны, заставил бы соответствующую диагональ задавать равносторонний треугольник и противоречил бы тупому углу. Уточните, к какой стороне проводится перпендикуляр.