3. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 8,5. Найдите ВС, если АС = 8.

Решение:

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности. Следовательно, AB — диаметр.

Это означает, что треугольник ABC является прямоугольным, и прямой угол находится напротив диаметра, то есть \( ∠C = 90° \).

Диаметр окружности равен удвоенному радиусу: \( AB = 2 \times R = 2 \times 8.5 = 17 \).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABC с известными сторонами AB (гипотенуза) = 17 и AC (катет) = 8.

Нам нужно найти длину катета BC.

Используем теорему Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).

Подставим известные значения:

\( 8^2 + BC^2 = 17^2 \)

\( 64 + BC^2 = 289 \)

\( BC^2 = 289 - 64 \)

\( BC^2 = 225 \)

Извлечем квадратный корень:

\( BC = √{225} \)

\( BC = 15 \)

Ответ: 15