4. На отрезке АВ выбрана точка С так, что AC = 60 и ВС = 15. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки В к этой окружности.

Решение:

У нас есть окружность с центром в точке А и радиусом, равным АС. Следовательно, R = AC = 60.

Точка В находится на прямой, содержащей отрезок АС. Расстояние от центра окружности А до точки В равно AB. Так как точка С выбрана на отрезке АВ, то \( AB = AC + CB \).

\( AB = 60 + 15 = 75 \).

Пусть точка касания окружности и касательной из точки В будет D. Треугольник ADB является прямоугольным, так как радиус, проведенный в точку касания (AD), перпендикулярен касательной (BD).

В этом прямоугольном треугольнике:

• Гипотенуза — отрезок AB (соединяющий центр окружности и точку, из которой проведена касательная). \( AB = 75 \).
• Один катет — радиус окружности AD. \( AD = R = 60 \).
• Другой катет — отрезок касательной BD, который нам нужно найти.

Применяем теорему Пифагора для треугольника ADB:

\( AD^2 + BD^2 = AB^2 \)

\( 60^2 + BD^2 = 75^2 \)

\( 3600 + BD^2 = 5625 \)

\( BD^2 = 5625 - 3600 \)

\( BD^2 = 2025 \)

Извлечем квадратный корень:

\( BD = √{2025} \)

\( BD = 45 \)

Ответ: 45