3. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(6\sqrt{2}\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Обозначим радиус основания через \(r\). По условию высота цилиндра равна радиусу: \(h=r\).

Площадь боковой поверхности цилиндра:

\[S_{\text{цил}}=2\pi rh=6\sqrt{2}.\]

Так как \(h=r\), получаем:

\[2\pi r^2=6\sqrt{2},\qquad \pi r^2=3\sqrt{2}.\]

Образующая конуса:

\[l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{2r^2}=r\sqrt{2}.\]

Площадь боковой поверхности конуса:

\[S_{\text{кон}}=\pi rl=\pi r^2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=6.\]

Ответ: 6.