№ 3. Углы AOB и DOC смежные, OM — биссектриса ∠AOB, луч ON принадлежит внутренней области ∠BOM и перпендикулярен OM. Является ли ON биссектрисой ∠BOC? Почему?

Так как ∠AOB и ∠DOC смежные, лучи OA и OC — противоположные, а сумма этих углов равна 180°.

Пусть ∠AOM = ∠MOB = x, поскольку OM — биссектриса ∠AOB. Луч ON лежит внутри ∠BOM и перпендикулярен OM, поэтому ∠MON = 90°. Следовательно, ∠BOM должен быть больше 90°.

Тогда ∠BOC = 180° − ∠AOB = 180° − 2x, а ∠BON = ∠BOM − 90° = x − 90°. Для биссектрисы требовалось бы ∠BON = ∠NOC. Но ∠NOC = ∠NOM + ∠MOB + ∠AOC = 90° + x + 180° — это больше 180° при такой трактовке лучей; значит, указанная конфигурация невозможна.

Действительно, если OM — внутренняя биссектриса ∠AOB, а ON находится внутри ∠BOM и перпендикулярен OM, то ∠BOM ≤ 90° невозможно обеспечить: OM образует с OB половину угла, а луч ON внутри этого угла не может быть перпендикулярен OM, если угол BOM не превосходит 90°. При ∠BOM > 90° геометрически луч ON возможен, но ON оказывается вне смежного угла BOC; следовательно, он не может быть его биссектрисой.

Ответ: нет. Луч ON расположен вне внутренней области ∠BOC, поэтому биссектрисой этого угла он быть не может.