3. Угол между биссектрисой BK и катетом AC прямоугольного треугольника ABC \(\angle C = 90°\) равен 57°. Найти острые углы треугольника ABC.

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC.
• \( \angle C = 90° \)
• BK — биссектриса.
• Угол между BK и AC равен 57°.

Найти:

• Острые углы треугольника ABC (\( \angle A \) и \( \angle B \)).

Решение:

1. Угол между биссектрисой BK и катетом AC — это \( \angle BKC \). По условию \( \angle BKC = 57° \).
2. Рассмотрим треугольник BCK. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
3. \( \angle KBC + \angle BCK + \angle BKC = 180° \)
4. \( \angle KBC + 90° + 57° = 180° \)
5. \( \angle KBC = 180° - 90° - 57° = 33° \).
6. Так как BK — биссектриса, то она делит \( \angle B \) пополам.
7. \( \angle B = 2 \times \angle KBC = 2 \times 33° = 66° \).
8. Найдем \( \angle A \): \( \angle A = 90° - \angle B = 90° - 66° = 24° \).

Ответ: \( \angle A = 24°, \angle B = 66° \).