3. Угол параллелограмма равен 150°, а стороны — 11 см и 3√3 см. Найдите площадь параллелограмма и его меньшую диагональ.

Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними:

\(S=11\cdot3\sqrt3\cdot\sin150^\circ=33\sqrt3\cdot\frac12=\frac{33\sqrt3}{2}\) см².

Квадраты диагоналей параллелограмма со сторонами \(a,b\) и углом \(\theta\) равны \(a^2+b^2\pm2ab\cos\theta\). Так как \(\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}\), меньшая диагональ соответствует выражению с плюсом перед \(2ab\cos\theta\):

\(d^2=11^2+(3\sqrt3)^2+2\cdot11\cdot3\sqrt3\cdot\cos150^\circ=121+27-99=49\).

Значит, \(d=7\) см.

Ответ: площадь \(\frac{33\sqrt3}{2}\) см², меньшая диагональ — 7 см.