3) Угол при основании равнобокой трапеции равен 120°. Прямая, которая проходит через вершину тупого угла и параллельна боковой стороне, делит большее основание на отрезки 5 см и 7 см. Найдите периметр трапеции. Сколько решений имеет задача?

При проведении указанной прямой один из отрезков большего основания равен удвоенной горизонтальной проекции боковой стороны, а второй — меньшему основанию трапеции. Поэтому возможны два случая: отрезок 5 см или отрезок 7 см может быть удвоенной проекцией.

1. Если удвоенная проекция равна 5 см, то проекция боковой стороны равна 2,5 см. При угле 120° острый угол между боковой стороной и основанием равен 60°. Боковая сторона равна 2,5 / cos 60° = 5 см. Основания равны 12 см и 7 см, поэтому периметр равен 12 + 7 + 2 · 5 = 29 см.

2. Если удвоенная проекция равна 7 см, то проекция боковой стороны равна 3,5 см. Боковая сторона равна 3,5 / cos 60° = 7 см. Основания равны 12 см и 5 см, поэтому периметр равен 12 + 5 + 2 · 7 = 31 см.

Ответ: 29 см или 31 см; задача имеет два решения.