3. Укажите решение неравенства 6х – х² ≥ 0.

Решение:

Для решения неравенства $$6x - x^2 ≥ 0$$, нам нужно найти корни соответствующего уравнения $$6x - x^2 = 0$$.

Вынесем $$x$$ за скобки:

\[ x(6 - x) = 0 \]

Корни уравнения:

• $$x = 0$$
• $$6 - x = 0 ⇒ x = 6$$

Теперь у нас есть два корня: 0 и 6. Они делят числовую прямую на три интервала: $$(-∞, 0)$$, $$[0, 6]$$ и $$[6, +∞)$$.

Проверим знак выражения $$6x - x^2$$ в каждом интервале:

• Интервал $$(-∞, 0)$$: Возьмем $$x = -1$$. Тогда $$6(-1) - (-1)^2 = -6 - 1 = -7$$. Выражение отрицательно.
• Интервал $$[0, 6]$$: Возьмем $$x = 3$$. Тогда $$6(3) - (3)^2 = 18 - 9 = 9$$. Выражение положительно.
• Интервал $$[6, +∞)$$: Возьмем $$x = 7$$. Тогда $$6(7) - (7)^2 = 42 - 49 = -7$$. Выражение отрицательно.

Нам нужно найти, где $$6x - x^2 ≥ 0$$. Это значит, что выражение должно быть положительным или равным нулю. Таким образом, нас интересует интервал, где выражение положительно, включая границы.

Это интервал $$[0, 6]$$.

Ответ: 3) [0;6]