3. Укажите решение неравенства $$6x - x^2 ≥ 0$$.

Решение:

Дано неравенство: $$6x - x^2 ≥ 0$$.

Чтобы решить это неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения $$6x - x^2 = 0$$.

Вынесем $$x$$ за скобки:

$$x(6 - x) = 0$$

Это уравнение имеет два корня:

• $$x_1 = 0$$
• $$6 - x = 0 → x_2 = 6$$

Теперь у нас есть два корня: 0 и 6. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $$(-∞, 0)$$, $$(0, 6)$$ и $$(6, +∞)$$.

Нам нужно определить, на каких интервалах выражение $$6x - x^2$$ будет неотрицательным ($$≥ 0$$).

Парабола $$y = -x^2 + 6x$$ имеет ветви, направленные вниз (так как коэффициент при $$x^2$$ равен -1, то есть отрицательный).

Это означает, что значения функции будут положительными между корнями (0 и 6) и отрицательными вне корней.

Так как нам нужно $$6x - x^2 ≥ 0$$, мы ищем интервалы, где функция положительна или равна нулю. Это интервал от 0 до 6, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $$[0; 6]$$.

Сравним с предложенными вариантами:

• 1) $$[0; +∞)$$
• 2) $$(-∞;0] u [6; +∞)$$
• 3) $$[0;6]$$
• 4) $$[6;+∞)$$

Правильный вариант — 3.

Ответ: 3) $$[0;6]$$