3. Умножить и разделить дроби: а) \(\frac{28b^6}{c^3}\cdot\frac{c^5}{14b^6}\); б) \(\frac{x}{x+2}\cdot\frac{x^2-4}{3x}\); в) \(\frac{14p^4}{q^6}:\frac{56p^4}{q^5}\); г) \(\frac{6b}{b-1}:\frac{3b^2}{2b-2}\). Упростить: а) \(\frac{p-q}{p}\cdot\left(\frac{p}{p-q}+\frac{p}{q}\right)\); б) \(\frac{y}{3x+y}:\left(\frac{y}{x}-\frac{3y}{3x+y}\right)\).

Умножить и разделить дроби

а) Сократим общие множители:

\(\frac{28b^6}{c^3}\cdot\frac{c^5}{14b^6}=2c^2\), где \(b\ne0\), \(c\ne0\).

б) Разложим разность квадратов и сократим:

\(\frac{x}{x+2}\cdot\frac{x^2-4}{3x}=\frac{x}{x+2}\cdot\frac{(x-2)(x+2)}{3x}=\frac{x-2}{3}\), где \(x\ne0\), \(x\ne-2\).

в) Заменим деление умножением на обратную дробь:

\(\frac{14p^4}{q^6}:\frac{56p^4}{q^5}=\frac{14p^4}{q^6}\cdot\frac{q^5}{56p^4}=\frac1{4q}\), где \(p\ne0\), \(q\ne0\).

г) Разложим \(2b-2=2(b-1)\) и выполним деление:

\(\frac{6b}{b-1}:\frac{3b^2}{2b-2}=\frac{6b}{b-1}\cdot\frac{2(b-1)}{3b^2}=\frac4b\), где \(b\ne0\), \(b\ne1\).

Упростить

а) Сначала сложим выражение в скобках:

\(\frac{p}{p-q}+\frac{p}{q}=\frac{pq+p(p-q)}{q(p-q)}=\frac{p^2}{q(p-q)}\).

Умножим на внешний множитель:

\(\frac{p-q}{p}\cdot\frac{p^2}{q(p-q)}=\frac pq\), где \(p\ne0\), \(q\ne0\), \(p\ne q\).

б) Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

\(\frac{y}{x}-\frac{3y}{3x+y}=\frac{y(3x+y)-3xy}{x(3x+y)}=\frac{y^2}{x(3x+y)}\).

Разделим на это выражение:

\(\frac{y}{3x+y}:\frac{y^2}{x(3x+y)}=\frac{y}{3x+y}\cdot\frac{x(3x+y)}{y^2}=\frac xy\), где \(x\ne0\), \(y\ne0\), \(3x+y\ne0\).

Ответ: умножить и разделить — а) \(2c^2\); б) \(\frac{x-2}{3}\); в) \(\frac1{4q}\); г) \(\frac4b\). Упростить — а) \(\frac pq\); б) \(\frac xy\).