3. Упростить: а) $\frac{4}{y}-\frac{2}{y-5}+\frac{2y+10}{25-y^2}$; б) $\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростить: а) $\frac{4}{y}-\frac{2}{y-5}+\frac{2y+10}{25-y^2}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Разложим знаменатели: $25-y^2=(5-y)(5+y)=-(y-5)(y+5)$, а $2y+10=2(y+5)$. Тогда

$\frac{2y+10}{25-y^2}=-\frac{2}{y-5}$.

Следовательно,

$\frac{4}{y}-\frac{2}{y-5}-\frac{2}{y-5}=\frac{4}{y}-\frac{4}{y-5}=\frac{4(y-5)-4y}{y(y-5)}=-\frac{20}{y(y-5)}$.

Ограничения: $y\ne0,5,-5$.

б) Разложим знаменатели: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2-4x+4=(x-2)^2$. Тогда

$\frac{(x-2)^2}{2}\left(\frac{1}{(x-2)(x+2)}+\frac{1}{(x-2)^2}\right)=\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\frac{(x-2)+(x+2)}{(x-2)^2(x+2)}$.

Сократим и упростим:

$\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{x}{x+2}$.

Ограничения исходного выражения: $x\ne2,-2$.

3. Упростить: а) \(\frac{4}{y}-\frac{2}{y-5}+\frac{2y+10}{25-y^2}\); б) \(\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)\).