3. Упростите алгебраическое выражение: а) $\left(x^2+\frac{6-x^4}{x^2-1}\right)\cdot\frac{1+x}{6-x^2}$; б) $\left(\frac{x+4}{3x+3}-\frac{1}{x+1}\right):\frac{1+x}{3}-\frac{2}{1-x^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите алгебраическое выражение: а) $\left(x^2+\frac{6-x^4}{x^2-1}\right)\cdot\frac{1+x}{6-x^2}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$x^2+\frac{6-x^4}{x^2-1}=\frac{x^2(x^2-1)+6-x^4}{x^2-1}=\frac{6-x^2}{x^2-1}$.

Тогда

$\frac{6-x^2}{x^2-1}\cdot\frac{1+x}{6-x^2}=\frac{1+x}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x-1}$.

Ограничения исходного выражения: $x\ne1$, $x\ne-1$, $x^2\ne6$.

б) Сначала упростим выражение в скобках:

$\frac{x+4}{3x+3}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+4}{3(x+1)}-\frac{3}{3(x+1)}=\frac{x+1}{3(x+1)}=\frac13$.

Деление на $\frac{1+x}{3}$ равносильно умножению на обратную дробь:

$\frac13:\frac{x+1}{3}=\frac{1}{x+1}$.

Теперь вычтем последнюю дробь:

$\frac{1}{x+1}-\frac{2}{1-x^2}=\frac{1}{x+1}+\frac{2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1+2}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x-1}$.

Ограничения исходного выражения: $x\ne-1$, $x\ne1$.

Ответ: а) $\frac{1}{x-1}$; б) $\frac{1}{x-1}$.

3. Упростите алгебраическое выражение: а) \(\left(x^2+\frac{6-x^4}{x^2-1}\right)\cdot\frac{1+x}{6-x^2}\); б) \(\left(\frac{x+4}{3x+3}-\frac{1}{x+1}\right):\frac{1+x}{3}-\frac{2}{1-x^2}\).