3. Упростите выражение: 1) а) $$\frac{9a^2}{9a^2-1} - \frac{6a}{(3a-1)(3a+1)} + \frac{1}{9a^2-1}$$; б) $$\frac{5a^3+3a-1}{a^2+4a+4} + \frac{5-4a^3}{a^2+4a+4} - \frac{3a+12}{a^2+4a+4}$$

Решение:

1) а)

1. Приведём дроби к общему знаменателю \( 9a^2-1 = (3a-1)(3a+1) \).
2. Первая дробь: \( \frac{9a^2}{9a^2-1} = \frac{9a^2}{(3a-1)(3a+1)} \)
3. Вторая дробь: \( -\frac{6a}{(3a-1)(3a+1)} \)
4. Третья дробь: \( +\frac{1}{9a^2-1} = +\frac{1}{(3a-1)(3a+1)} \)
5. Сложим числители: \( \frac{9a^2 - 6a + 1}{(3a-1)(3a+1)} \)
6. Числитель является полным квадратом: \( 9a^2 - 6a + 1 = (3a-1)^2 \).
7. Сократим дробь: \( \frac{(3a-1)^2}{(3a-1)(3a+1)} = \frac{3a-1}{3a+1} \).

1) б)

1. Знаменатель \( a^2+4a+4 = (a+2)^2 \).
2. Приведём дроби к общему знаменателю \( (a+2)^2 \).
3. Выражение: \( \frac{5a^3+3a-1 + 5-4a^3 - (3a+12)}{(a+2)^2} \)
4. Упростим числитель: \( \frac{a^3 + 3a - 3a - 1 + 5 - 12}{(a+2)^2} = \frac{a^3 - 8}{(a+2)^2} \).
5. Разложим числитель как разность кубов: \( a^3 - 8 = (a-2)(a^2+2a+4) \).
6. Получаем: \( \frac{(a-2)(a^2+2a+4)}{(a+2)^2} \).

Ответ: 1) а) $$\frac{3a-1}{3a+1}$$; 1) б) $$\frac{a^3-8}{(a+2)^2}$$.