3. Упростите выражение: 1) $\frac{y+6}{4y+8}-\frac{y+2}{4y-8}+\frac{5}{y^2-4}$; 2) $\frac{6b^3+48b}{b^3+64}-\frac{3b^2}{b^2-4b+16}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите выражение: 1) $\frac{y+6}{4y+8}-\frac{y+2}{4y-8}+\frac{5}{y^2-4}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители и приведём к общему знаменателю $4(y^2-4)$: \[\frac{y+6}{4y+8}-\frac{y+2}{4y-8}+\frac{5}{y^2-4}=\frac{(y+6)(y-2)-(y+2)^2+20}{4(y^2-4)}.\] Упростим числитель: $(y+6)(y-2)-(y+2)^2+20=4$. Поэтому выражение равно $\frac{1}{y^2-4}$, где $y\ne\pm2$.
Обозначим $Q=b^2-4b+16$. Тогда $b^3+64=(b+4)Q$. Приведём дроби к общему знаменателю: \[\frac{6b^3+48b}{(b+4)Q}-\frac{3b^2}{Q}=\frac{6b^3+48b-3b^2(b+4)}{(b+4)Q}=\frac{3bQ}{(b+4)Q}=\frac{3b}{b+4},\quad b\ne-4.\]

Ответ: 1) $\frac{1}{y^2-4}$; 2) $\frac{3b}{b+4}$.

3. Упростите выражение: 1) \(\frac{y+6}{4y+8}-\frac{y+2}{4y-8}+\frac{5}{y^2-4}\); 2) \(\frac{6b^3+48b}{b^3+64}-\frac{3b^2}{b^2-4b+16}\).