3. Упростите выражение: a) 7^9 * 7^11 / 7^18; б) (3^4)^2 * 2^11 / (4 * 36^4)

Решение:

1. а) Упростим выражение:
   \( \frac{7^9 \cdot 7^{11}}{7^{18}} \)
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
   \( \frac{7^{9+11}}{7^{18}} = \frac{7^{20}}{7^{18}} \)
   При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:
   \( 7^{20-18} = 7^2 = 49 \)
2. б) Упростим выражение:
   \( \frac{(3^4)^2 \cdot 2^{11}}{4 \cdot 36^4} \)
   Воспользуемся свойством степени \( (a^m)^n = a^{m
   } \):
   \( \frac{3^{4 \cdot 2} \cdot 2^{11}}{4 \cdot 36^4} = \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{4 \cdot 36^4} \)
   Представим 4 как \( 2^2 \) и 36 как \( 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \):
   \( \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{2^2 \cdot (2^2 \cdot 3^2)^4} = \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{2^2 \cdot 2^{8} \cdot 3^{8}} \)
   Сложим показатели степеней с одинаковым основанием:
   \( \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{2^{2+8} \cdot 3^8} = \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{2^{10} \cdot 3^8} \)
   Сократим одинаковые основания:
   \( 2^{11-10} = 2^1 = 2 \)

Ответ: а) 49; б) 2.