3. Упростите выражение ( a/(a-b) + ab/(b^2-a^2) ) * (a^2-2ab+b^2)/a^2.

Задание 3. Упрощение выражения

Нужно упростить выражение:

\[ \left(\frac{a}{a-b} + \frac{ab}{b^2-a^2}\right) \cdot \frac{a^2-2ab+b^2}{a^2} \]

Шаг 1: Приведем к общему знаменателю в первой скобке.

Заметим, что \( b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2) = -(a-b)(a+b) \).

Тогда знаменатель \( a-b \) нужно умножить на \( -(a+b) \) чтобы получить \( -(b^2-a^2) \) или на \( (a+b) \) чтобы получить \( a^2-b^2 \).

Сделаем \( b^2 - a^2 \) равным \( -(a^2 - b^2) \):

\[ \frac{a}{a-b} = \frac{a \cdot (-(a+b))}{(a-b) \cdot (-(a+b))} = \frac{-a(a+b)}{-(a^2-b^2)} = \frac{-a^2-ab}{b^2-a^2} \]

Теперь выражение в скобках выглядит так:

\[ \frac{-a^2-ab}{b^2-a^2} + \frac{ab}{b^2-a^2} = \frac{-a^2-ab+ab}{b^2-a^2} = \frac{-a^2}{b^2-a^2} \]

Шаг 2: Упростим вторую дробь.

Числитель \( a^2 - 2ab + b^2 \) — это квадрат разности: \( (a-b)^2 \).

Знаменатель — \( a^2 \).

Вторая дробь: \( \frac{(a-b)^2}{a^2} \).

Шаг 3: Перемножим упрощенные выражения.

\[ \frac{-a^2}{b^2-a^2} \cdot \frac{(a-b)^2}{a^2} \]

Подставим \( b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2) = -(a-b)(a+b) \) в знаменатель первой дроби:

\[ \frac{-a^2}{-(a-b)(a+b)} \cdot \frac{(a-b)^2}{a^2} \]

Сократим \( -a^2 \) и \( a^2 \), а также \( (a-b) \) и \( (a-b)^2 \):

\[ \frac{1}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{(a-b)^2}{1} \]

Это не совсем верно, пересмотрим сокращение.

Правильно будет:

\[ \frac{-a^2}{-(a-b)(a+b)} \cdot \frac{(a-b)^2}{a^2} = \frac{a^2}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{(a-b)^2}{a^2} \]

Сокращаем \( a^2 \):

\[ \frac{1}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{(a-b)^2}{1} \]

Сокращаем \( (a-b) \):

\[ \frac{1}{a+b} \cdot \frac{a-b}{1} = \frac{a-b}{a+b} \]

Ответ: Упрощенное выражение равно \( \frac{a-b}{a+b} \).