5. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 110 км, первый теплоход отправился с постоянной скоростью, а через 1 ч после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым.

Дано:

• Расстояние между пристанями AB = 110 км.
• Пусть \(v_1\) — скорость первого теплохода.
• Пусть \(v_2\) — скорость второго теплохода.
• \(v_2 = v_1 + 1\) км/ч.
• Второй теплоход отправился на 1 час позже первого.
• Оба теплохода прибыли в пункт В одновременно.

Найти:

• \(v_2\) — скорость второго теплохода.

Решение:

1. Обозначим скорость первого теплохода как \(v\) км/ч. Тогда скорость второго теплохода будет \(v + 1\) км/ч.
2. Время движения первого теплохода до пристани В: \(t_1 = \frac{110}{v}\) часов.
3. Второй теплоход отправился на 1 час позже, поэтому время его движения до пристани В: \(t_2 = \frac{110}{v+1}\) часов.
4. Так как второй теплоход отправился на 1 час позже, а прибыл одновременно с первым, то время его движения на 1 час меньше: \(t_1 - t_2 = 1\).
5. Подставим выражения для времени: \(\frac{110}{v} - \frac{110}{v+1} = 1\).
6. Приведем к общему знаменателю: \(\frac{110(v+1) - 110v}{v(v+1)} = 1\).
7. Раскроем скобки и упростим числитель: \(\frac{110v + 110 - 110v}{v^2 + v} = 1\).
8. Получаем: \(\frac{110}{v^2 + v} = 1\).
9. Отсюда: \(v^2 + v = 110\).
10. Перенесем все в одну часть: \(v^2 + v - 110 = 0\).
11. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-110) = 1 + 440 = 441\).
12. Найдем корни уравнения: \(v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
13. \(v_1 = \frac{-1 + \sqrt{441}}{2 \times 1} = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10\).
14. \(v_2 = \frac{-1 - \sqrt{441}}{2 \times 1} = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11\).
15. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: \(v = 10\) км/ч. Это скорость первого теплохода.
16. Найдем скорость второго теплохода: \(v_2 = v + 1 = 10 + 1 = 11\) км/ч.

Проверка:

• Время первого теплохода: \(t_1 = \frac{110}{10} = 11\) часов.
• Время второго теплохода: \(t_2 = \frac{110}{11} = 10\) часов.
• Разница во времени: \(11 - 10 = 1\) час, что соответствует условию.

Ответ: Скорость второго теплохода равна 11 км/ч.