№3 Упростите выражение: а) $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$; б) $\frac{2}{m+n}+\frac{3}{(m+n)^2}$; в) $\frac{a-1}{a+1}+\frac{a^2-2a}{a^2-1}$; г) $\frac{a-1}{a+1}+\frac{a}{a-1}$; д) $\frac{3}{x+3}+\frac{3}{x-\text{[числовые данные обрезаны]}}$; е) $\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a+b}$; ж) $\frac{m}{n^2}+\frac{p}{n^3}$; з) $\frac{1}{a^2-ab}+\frac{1}{ab-b^2}$; и) $\frac{x+15}{x^2-9}+\frac{2x}{(x+3)^2}$; к) $\frac{3x-3}{4-4x}+\frac{3}{4}\cdot\frac{x}{x^2+x-6}-\frac{1}{x^3-4x^2+4x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: №3 Упростите выражение: а) $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$; б) $\frac{2}{m+n}+\frac{3}{(m+n)^2}$; в)…$ Фото задания

№3 Упростите выражение: а) $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$; б) $\frac{2}{m+n}+\frac{3}{(m+n)^2}$; в) $\frac{a-1}{a+1}+\frac{a^2-2a}{a^2-1}$; г) $\frac{a-1}{a+1}+\frac{a}{a-1}$; д) $\frac{3}{x+3}+\frac{3}{x-\text{[числовые данные обрезаны]}}$; е) $\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a+b}$; ж) $\frac{m}{n^2}+\frac{p}{n^3}$; з) $\frac{1}{a^2-ab}+\frac{1}{ab-b^2}$; и) $\frac{x+15}{x^2-9}+\frac{2x}{(x+3)^2}$; к) $\frac{3x-3}{4-4x}+\frac{3}{4}\cdot\frac{x}{x^2+x-6}-\frac{1}{x^3-4x^2+4x}$.

Accepted Answer

В пункте д) знаменатель второй дроби обрезан, поэтому этот пункт нельзя упростить однозначно. Пришлите его полностью. Остальные пункты решаются так:

а) Общий знаменатель — $bd$: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$.
б) Общий знаменатель — $(m+n)^2$: $\frac{2}{m+n}+\frac{3}{(m+n)^2}=\frac{2(m+n)+3}{(m+n)^2}=\frac{2m+2n+3}{(m+n)^2}$.
в) Раскладываем знаменатель: $a^2-1=(a-1)(a+1)$. Тогда $\frac{a-1}{a+1}+\frac{a^2-2a}{a^2-1}=\frac{(a-1)^2+a^2-2a}{a^2-1}=\frac{2a^2-4a+1}{a^2-1}$.
г) Общий знаменатель — $(a+1)(a-1)$: $\frac{a-1}{a+1}+\frac{a}{a-1}=\frac{(a-1)^2+a(a+1)}{(a+1)(a-1)}=\frac{2a^2-a+1}{a^2-1}$.
е) Общий знаменатель — $(a-b)(a+b)$: $\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a+b}=\frac{(a+b)+(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{2a}{a^2-b^2}$.
ж) Приводим к знаменателю $n^3$: $\frac{m}{n^2}+\frac{p}{n^3}=\frac{mn+p}{n^3}$.
з) Разлагаем знаменатели: $a^2-ab=a(a-b)$, $ab-b^2=b(a-b)$. Поэтому $\frac{1}{a^2-ab}+\frac{1}{ab-b^2}=\frac{b+a}{ab(a-b)}=\frac{a+b}{ab(a-b)}$.
и) $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Общий знаменатель — $(x-3)(x+3)^2$: $\frac{x+15}{x^2-9}+\frac{2x}{(x+3)^2}=\frac{(x+15)(x+3)+2x(x-3)}{(x-3)(x+3)^2}=\frac{3x^2+12x+45}{(x-3)(x+3)^2}$.
к) Сначала упрощаем отдельные части: $\frac{3x-3}{4-4x}=-\frac34$, $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$, $x^3-4x^2+4x=x(x-2)^2$. Общий знаменатель для оставшихся дробей — $4x(x+3)(x-2)^2$. Получаем $-\frac34+\frac{3x}{4(x+3)(x-2)}-\frac{1}{x(x-2)^2}=\frac{-3x(x+3)(x-2)^2+3x^2(x-2)-4(x+3)}{4x(x+3)(x-2)^2}$.

Ответ: а) $\frac{ad+bc}{bd}$; б) $\frac{2m+2n+3}{(m+n)^2}$; в) $\frac{2a^2-4a+1}{a^2-1}$; г) $\frac{2a^2-a+1}{a^2-1}$; е) $\frac{2a}{a^2-b^2}$; ж) $\frac{mn+p}{n^3}$; з) $\frac{a+b}{ab(a-b)}$; и) $\frac{3x^2+12x+45}{(x-3)(x+3)^2}$; к) $\frac{-3x(x+3)(x-2)^2+3x^2(x-2)-4(x+3)}{4x(x+3)(x-2)^2}$. Пункт д) требует уточнения знаменателя.