№3. Упростите выражение: а) $\left(\frac{a+2}{a-2}+\frac{a-2}{a+2}\right):\frac{16a}{a^2-4}$; б) $\left(\frac{a^2-5a}{a^2-10a+25}+\frac{25}{a^2-25}\right):\frac{5+a}{125-a^3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: №3. Упростите выражение: а) $\left(\frac{a+2}{a-2}+\frac{a-2}{a+2}\right):\frac{16a}{a^2-4}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Сложим дроби в скобках, разложив общий знаменатель:

$\frac{a+2}{a-2}+\frac{a-2}{a+2}=\frac{(a+2)^2+(a-2)^2}{a^2-4}=\frac{2a^2+8}{a^2-4}=\frac{2(a^2+4)}{a^2-4}$.

Разделим на дробь, умножив на обратную:

$\frac{2(a^2+4)}{a^2-4}\cdot\frac{a^2-4}{16a}=\frac{a^2+4}{8a}$.

ОДЗ исходного выражения: $a\ne-2, 0, 2$.

б) Разложим знаменатели на множители:

$a^2-10a+25=(a-5)^2$, $a^2-25=(a-5)(a+5)$, $125-a^3=(5-a)(a^2+5a+25)$.

Сложим дроби в скобках:

$\frac{a^2-5a}{(a-5)^2}+\frac{25}{(a-5)(a+5)}=\frac{a}{a-5}+\frac{25}{(a-5)(a+5)}=\frac{a^2+5a+25}{(a-5)(a+5)}$.

Разделим на вторую дробь и сократим:

$\frac{a^2+5a+25}{(a-5)(a+5)}\cdot\frac{125-a^3}{a+5}=-\frac{(a^2+5a+25)^2}{(a+5)^2}$.

ОДЗ: $a\ne-5,5$.

Ответ: а) $\frac{a^2+4}{8a}$; б) $-\frac{(a^2+5a+25)^2}{(a+5)^2}$.

№3. Упростите выражение: а) \(\left(\frac{a+2}{a-2}+\frac{a-2}{a+2}\right):\frac{16a}{a^2-4}\); б) \(\left(\frac{a^2-5a}{a^2-10a+25}+\frac{25}{a^2-25}\right):\frac{5+a}{125-a^3}\).