3. Упростите выражение: $\frac{1}{a+b}-\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}+\frac{4ab}{a^3+b^3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите выражение: $\frac{1}{a+b}-\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}+\frac{4ab}{a^3+b^3}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Используем разложение суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$. Приведём дроби к этому общему знаменателю:

\[\frac{a^2-ab+b^2-(a+b)^2+4ab}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}.\]

Упростим числитель: $a^2-ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)+4ab=ab$. Следовательно,

Ответ: $\frac{ab}{a^3+b^3}$, при $a+b\ne0$ и $a^2-ab+b^2\ne0$.

3. Упростите выражение: \(\frac{1}{a+b}-\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}+\frac{4ab}{a^3+b^3}\).