3. Упростите выражение \(\frac{2^{3} \cdot 2^{14}}{(2^{2})^{4} \cdot 2^{7}}\)

Задание 3. Упрощение выражения

Чтобы упростить данное выражение, будем использовать свойства степеней:

• • Произведение степеней с одинаковым основанием: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
  • Возведение степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
  • Частное степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Применим эти свойства к нашему выражению:

\( \frac{2^{3} \cdot 2^{14}}{(2^{2})^{4} \cdot 2^{7}} \)

1. Сначала упростим знаменатель, используя правило возведения степени в степень: \( (2^{2})^{4} = 2^{2 \cdot 4} = 2^{8} \).
2. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{2^{3} \cdot 2^{14}}{2^{8} \cdot 2^{7}} \).
3. Упростим числитель, используя правило произведения степеней: \( 2^{3} \cdot 2^{14} = 2^{3+14} = 2^{17} \).
4. Упростим знаменатель, используя правило произведения степеней: \( 2^{8} \cdot 2^{7} = 2^{8+7} = 2^{15} \).
5. Теперь выражение имеет вид: \( \frac{2^{17}}{2^{15}} \).
6. Наконец, используем правило частного степеней: \( \frac{2^{17}}{2^{15}} = 2^{17-15} = 2^{2} \).
7. Вычислим окончательный результат: \( 2^{2} = 4 \).

Ответ: 4.