3. Упростите выражение \(\frac{2a}{a-5} + \frac{5}{a+5} + \frac{2a^2}{25-a^2}\)

Решение:

Разложим знаменатель \(25-a^2\) как разность квадратов: \((5-a)(5+a)\).
Запишем \(a-5\) как \(-(5-a)\) и \(a+5\) как \(5+a\).

Общий знаменатель равен \((5-a)(5+a)\).

\(\frac{2a}{a-5} + \frac{5}{a+5} + \frac{2a^2}{25-a^2} = \frac{2a}{-(5-a)} + \frac{5}{5+a} + \frac{2a^2}{(5-a)(5+a)}\)

= \(-\frac{2a}{5-a} + \frac{5}{5+a} + \frac{2a^2}{(5-a)(5+a)}\)

= \(-\frac{2a(5+a)}{(5-a)(5+a)} + \frac{5(5-a)}{(5+a)(5-a)} + \frac{2a^2}{(5-a)(5+a)}\)

= \(\frac{-10a - 2a^2 + 25 - 5a + 2a^2}{(5-a)(5+a)}\)

= \(\frac{-15a + 25}{(5-a)(5+a)} = \frac{5(5-3a)}{(5-a)(5+a)}\)

Замечание: если бы в третьем слагаемом было \(a^2-25\), то знаменатель был бы \((a-5)(a+5)\) и ответ бы отличался.

Ответ: \(\frac{5(5-3a)}{(5-a)(5+a)}\).