3. Упростите выражение: $\frac{x+4}{x-3y}:\left(\frac{4-y}{4+y}+\frac{y}{y-4}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите выражение: $\frac{x+4}{x-3y}:\left(\frac{4-y}{4+y}+\frac{y}{y-4}\right)$.$ Фото задания

Accepted Answer

Сначала приведём выражения в скобках к общему знаменателю:

$\frac{4-y}{4+y}+\frac{y}{y-4}=\frac{(4-y)(y-4)+y(4+y)}{(y+4)(y-4)}.$

Поскольку $(4-y)(y-4)=-(y-4)^2$, числитель равен $-(y-4)^2+y(4+y)=12y-16=4(3y-4)$. Значит, скобки равны $\frac{4(3y-4)}{(y+4)(y-4)}$.

Заменим деление умножением на обратную дробь и разложим разность квадратов:

$\frac{x+4}{x-3y}:\frac{4(3y-4)}{(y+4)(y-4)}=\frac{(x+4)(y+4)(y-4)}{4(x-3y)(3y-4)}=\frac{(x+4)(y^2-16)}{4(x-3y)(3y-4)}.$

Ограничения исходного выражения: $x\ne3y$, $y\ne-4$, $y\ne4$, $y\ne\frac43$.

Ответ: $\frac{(x+4)(y^2-16)}{4(x-3y)(3y-4)}$.

3. Упростите выражение: \(\frac{x+4}{x-3y}:\left(\frac{4-y}{4+y}+\frac{y}{y-4}\right)\).