3. Упростите выражение: $\frac1{a+b}-\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}+\frac{4ab}{a^3+b^3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите выражение: $\frac1{a+b}-\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}+\frac{4ab}{a^3+b^3}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Используем формулу суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$. Приводим дроби к этому общему знаменателю:

\[\frac{a^2-ab+b^2-(a+b)^2+4ab}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}\]

Раскрываем квадрат и приводим подобные слагаемые в числителе:

\[a^2-ab+b^2-a^2-2ab-b^2+4ab=ab.\]

Следовательно, $\frac{ab}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}=\frac{ab}{a^3+b^3}$. Выражение определено при $a^3+b^3\ne0$.

Ответ: $\frac{ab}{a^3+b^3}$.

3. Упростите выражение: \(\frac1{a+b}-\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}+\frac{4ab}{a^3+b^3}\).