3. Упростите выражение (x - 9y) / (x^2 - 9y^2) - 3y / (3xy - x^2).

Решение:

Сначала разложим знаменатели на множители:

• x^2 - 9y^2 — это разность квадратов: (x - 3y)(x + 3y)
• 3xy - x^2 — вынесем общий множитель x: x(3y - x). Заметим, что 3y - x = -(x - 3y).

Теперь перепишем выражение с разложенными знаменателями:

• \[ \frac{x - 9y}{(x - 3y)(x + 3y)} - \frac{3y}{x(3y - x)} \]
• = \(\frac{x - 9y}{(x - 3y)(x + 3y)}\) - \(\frac{3y}{-x(x - 3y)}\) \]
• = \(\frac{x - 9y}{(x - 3y)(x + 3y)}\) + \(\frac{3y}{x(x - 3y)}\) \]

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нам нужно умножить первую дробь на x, а вторую — на (x + 3y):

• \[ \frac{x(x - 9y)}{x(x - 3y)(x + 3y)} + \frac{3y(x + 3y)}{x(x - 3y)(x + 3y)} \]
• = \(\frac{x^2 - 9xy + 3xy + 9y^2}{x(x - 3y)(x + 3y)}\) \]
• = \(\frac{x^2 - 6xy + 9y^2}{x(x - 3y)(x + 3y)}\) \]

Обратим внимание на числитель: x^2 - 6xy + 9y^2 — это квадрат разности: (x - 3y)^2.

• = \(\frac{(x - 3y)^2}{x(x - 3y)(x + 3y)}\) \]

Сократим дробь на (x - 3y) (при условии, что x ≠ 3y):

• = \(\frac{x - 3y}{x(x + 3y)}\) \]

Ответ: (x - 3y) / (x(x + 3y))