4. Упростите выражение (4a + 6b) / (x^2 - 49) : (6a + 9b) / (x^2 - 14x + 49) и найдите его значение при a = 1/7, b = -1/6, x = 1/2.

Решение:

Сначала упростим выражение. Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:

• \[ \frac{4a + 6b}{x^2 - 49} ÷ \frac{6a + 9b}{x^2 - 14x + 49} = \frac{4a + 6b}{x^2 - 49} × \frac{x^2 - 14x + 49}{6a + 9b} \]

Теперь разложим на множители числители и знаменатели:

• 4a + 6b = 2(2a + 3b)
• x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7) (разность квадратов)
• x^2 - 14x + 49 = (x - 7)^2 (квадрат разности)
• 6a + 9b = 3(2a + 3b)

Подставим разложенные множители обратно в выражение:

• \[ \frac{2(2a + 3b)}{(x - 7)(x + 7)} × \frac{(x - 7)^2}{3(2a + 3b)} \]

Сократим одинаковые множители (2a + 3b) и один множитель (x - 7):

• \[ \frac{2}{x + 7} × \frac{x - 7}{3} \]
• = \(\frac{2(x - 7)}{3(x + 7)}\) \]

Теперь подставим значения a = 1/7, b = -1/6, x = 1/2. Обратите внимание, что значения a и b не повлияли на упрощенное выражение. Подставим только значение x:

• x = 1/2
• x - 7 = 1/2 - 7 = 1/2 - 14/2 = -13/2
• x + 7 = 1/2 + 7 = 1/2 + 14/2 = 15/2

Подставим эти значения в упрощенное выражение:

• \[ \frac{2(-13/2)}{3(15/2)} \]
• = \(\frac{-13}{45/2}\) \]
• = -13 × \(\frac{2}{45}\) \]
• = -26/45 \]

Ответ: -26/45