3. Уравнения: а) lg(x − 1) = 3; б) log₂(x + 3) = log₂(2x − 1); в) ln(x² − 6x + 9) = 0; г) log₃(x + 1) + log₃(x − 1) = log₃ 8; д) (lg x)² − 2 lg x − 3 = 0.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Область определения: \(x-1>0\). По определению логарифма \(x-1=10^3=1000\), значит \(x=1001\).
б) Область определения: \(x+3>0\) и \(2x-1>0\), то есть \(x>\frac12\). Логарифмы с одинаковым основанием равны, когда равны их аргументы: \(x+3=2x-1\), откуда \(x=4\). Это значение допустимо.
в) \(\ln(x^2-6x+9)=0\) означает \(x^2-6x+9=1\), поскольку \(\ln 1=0\). Тогда \((x-3)^2=1\), откуда \(x-3=\pm1\), то есть \(x=2\) или \(x=4\). При обоих значениях аргумент логарифма равен 1.
г) Область определения: \(x+1>0\) и \(x-1>0\), значит \(x>1\). Объединяем логарифмы: \(\log_3((x+1)(x-1))=\log_3 8\). Следовательно, \(x^2-1=8\), откуда \(x=\pm3\). Условию области определения удовлетворяет только \(x=3\).
д) Область определения: \(x>0\). Обозначим \(t=\lg x\). Тогда \(t^2-2t-3=0\), то есть \((t-3)(t+1)=0\). Поэтому \(t=3\) или \(t=-1\), откуда \(x=10^3=1000\) или \(x=10^{-1}=0.1\).

Ответ: а) 1001; б) 4; в) 2, 4; г) 3; д) 0.1, 1000.