3. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 5 человек для участия в математической олимпиаде?

Решение:

Для формирования команды из 5 человек нам нужно выбрать 5 человек из 32 учащихся. Порядок выбора не имеет значения, поэтому это задача на комбинации.

Число сочетаний (способов выбрать 5 человек из 32) вычисляется по формуле:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где \( n = 32 \) (общее число учащихся) и \( k = 5 \) (количество человек в команде).

\[ C_{32}^5 = \frac{32!}{5!(32-5)!} = \frac{32!}{5!27!} \]

\[ C_{32}^5 = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27!}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 27!} \]

Сократим \( 27! \) и вычислим:

\[ C_{32}^5 = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Разложим знаменатель: \( 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \).

Упростим дробь:

\[ C_{32}^5 = \frac{32 \times 31 \times (30 \times 29 \times 28)}{120} \]

Заметим, что \( 30 \times 32 = 960 \) и \( 120 = 5 \times 24 \).

\[ C_{32}^5 = 32 \times 31 \times \frac{30}{5 \times 3 \times 2} \times \frac{28}{4} \times 29 \]

\[ C_{32}^5 = 32 \times 31 \times \frac{30}{30} \times \frac{28}{4} \times 29 \]

\[ C_{32}^5 = 32 \times 31 \times 1 \times 7 \times 29 \]

\[ C_{32}^5 = 32 \times 31 \times 203 \]

\[ C_{32}^5 = 992 \times 203 \]

\[ C_{32}^5 = 201376 \]

Ответ: 201 376 способов.